Упр.30.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Найдите все простые $$p$$ такие, что число $$p^2+11$$ имеет ровно шесть различных натуральных делителей.

Рассмотрим число $$p^2+11=p^2-1+12=(p^2-1)+12.$$

Из предыдущего задания известно, что $$p^2-1$$ делится на $$24$$. Тогда при $$p>3$$ число $$p^2-1$$ делится на $$24$$, значит и $$p^2+11=(p^2-1)+12$$ делится на $$12$$. В этом случае число $$p^2+11$$ имеет больше шести делителей, поэтому не подходит.

Проверим малые простые числа.

Если $$p=2$$, то

$$2^2+11=4+11=15.$$

Число $$15$$ имеет делители $$1,3,5,15$$, то есть всего $$4$$ делителя. Не подходит.

Если $$p=3$$, то

$$3^2+11=9+11=20.$$

Число $$20$$ имеет делители $$1,2,4,5,10,20$$, то есть ровно $$6$$ делителей. Подходит.

Ответ

$$p=3$$.