Упр.30.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.38. Найдите все простые числа p такие, что число 4p+1 является квадратом натурального числа.

Пусть $$4p+1=q^2,$$ где $$q$$ — натуральное число. Тогда

$$q^2-1=4p.$$

Число $$q^2-1=(q-1)(q+1)$$ делится на $$4$$. Кроме того, из свойства квадратов по модулю $$8$$ следует, что

$$q^2 \equiv 0,1,4 \pmod{8}.$$

Но из равенства $$q^2=4p+1$$ получаем

$$q^2 \equiv 1 \pmod{4}.$$

Значит, $$q$$ — нечётное, и тогда $$q^2 \equiv 1 \pmod{8}.$$ Следовательно,

$$4p+1 \equiv 1 \pmod{8},$$

откуда

$$4p \equiv 0 \pmod{8}.$$

Значит, $$p$$ — чётное простое число, то есть

$$p=2.$$

Проверим: $$4\cdot 2+1=9=3^2.$$

Ответ

$$p=2$$