Упр.30.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.37. Найдите все простые числа p и q, удовлетворяющие уравнению q-p^2 =2.

Из уравнения получаем:

$$q-p^2=2,$$

то есть

$$q=p^2+2.$$

Рассмотрим возможные значения простого числа $$p$$.

Если $$p\ne 3$$, то для простого числа $$p$$ число $$p^2-1=(p-1)(p+1)$$ делится на $$24$$, а значит, делится на $$3$$. Тогда

$$p^2+2=(p^2-1)+3$$

тоже делится на $$3$$. Следовательно, $$q$$ либо равно $$3$$, либо составное.

Если $$q=3$$, то

$$p^2+2=3,$$

$$p^2=1,$$

откуда $$p=1$$ или $$p=-1$$. Но ни одно из этих чисел не является простым. Значит, $$q\ne 3$$.

Остаётся случай $$p=3$$. Тогда

$$q=3^2+2=9+2=11.$$

Число $$11$$ — простое.

Ответ

$$p=3,\ q=11.$$