Упр.30.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.36. Найдите все простые числа p и q, удовлетворяющие уравнению p^2 -2q^2 =1.

Рассмотрим уравнение

$$p^2-2q^2=1.$$

Так как $p$ и $q$ — простые числа, проверим возможные значения $p$.

1) Если $p>3$, то простое число $p$ нечётное, значит $p^2\equiv 1 \pmod 8$. Тогда

$$p^2-1=2q^2.$$

Левая часть делится на $8$, значит и правая часть делится на $8$:

$$2q^2\equiv 0 \pmod 8,$$

откуда $q$ должно делиться на $2$. Но простое число, делящееся на $2$, — это только $q=2$. Подставим:

$$p^2-2\cdot 2^2=1,$$

$$p^2=9,$$

$$p=3,$$

что противоречит условию $p>3$.

2) Если $p=2$, то

$$2^2-2q^2=1,$$

$$4-2q^2=1,$$

$$2q^2=3,$$

что невозможно, так как левая часть чётная, а правая — нечётная.

3) Если $p=3$, то

$$3^2-2q^2=1,$$

$$9-2q^2=1,$$

$$2q^2=8,$$

$$q^2=4,$$

$$q=2.$$

Проверка:

$$3^2-2\cdot 2^2=9-8=1.$$

Значит, решение подходит.

Ответ

$$p=3,\ q=2.$$