Упр.30.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.35. Натуральное число a не делится нацело на 29. Докажите, что одно из чисел a^14 -1 или a^14 +1 делится нацело на 29.

Имеем:

$$\left(a^{14}-1\right)\left(a^{14}+1\right)=a^{28}-1.$$

По следствию из малой теоремы Ферма:

$$a^{29}\equiv a \pmod{29}.$$

Тогда

$$a^{29}-a\equiv 0 \pmod{29},$$

$$a\left(a^{28}-1\right)\equiv 0 \pmod{29}.$$

Так как число $a$ не делится нацело на $29$, то

$$a^{28}-1\equiv 0 \pmod{29}.$$

Следовательно,

$$\left(a^{14}-1\right)\left(a^{14}+1\right)\equiv 0 \pmod{29}.$$

Поскольку $29$ — простое число, то из делимости произведения на $29$ следует, что хотя бы один из множителей делится на $29$:

$$a^{14}-1\equiv 0 \pmod{29} \quad \text{или} \quad a^{14}+1\equiv 0 \pmod{29}.$$

Значит, одно из чисел $a^{14}-1$ или $a^{14}+1$ делится нацело на $29$.

Ответ

Одно из чисел $a^{14}-1$ или $a^{14}+1$ делится нацело на $29$.