Упр.30.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.34. Докажите, что число 24^24 -1 кратно 35.

Рассмотрим выражение:

$$24^{24}-1=(24^6)^4-1.$$

Используем формулу разности квадратов несколько раз:

$$ 24^{24}-1=((24^6)^2-1)((24^6)^2+1)=(24^6-1)(24^6+1)(24^{12}+1). $$

Далее разложим:

$$ 24^6-1=(24^3-1)(24^3+1), $$

а также

$$ 24^3-1=(24-1)(24^2+24+1)=23\cdot 601, $$

$$ 24^3+1=(24+1)(24^2-24+1)=25\cdot 553. $$

Тогда

$$ 24^{24}-1=23\cdot 601\cdot 25\cdot 553\cdot (24^6+1)(24^{12}+1). $$

Так как $$25$$ делится на $$5$$, а $$553$$ делится на $$7$$, то произведение $$25\cdot 553$$ делится на $$5\cdot 7=35$$. Значит, всё произведение делится на $$35$$.

Следовательно, число $$24^{24}-1$$ кратно $$35$$.

Ответ

$$24^{24}-1$$ кратно $$35$$.