Упр.30.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что число $$24^{24}-1$$ кратно 35.

Рассмотрим выражение:

$$24^{24}-1=(24^6)^4-1.$$

Используем формулу разности квадратов несколько раз:

$$24^{24}-1=((24^6)^2-1)((24^6)^2+1)=(24^6-1)(24^6+1)(24^{12}+1).$$

Далее разложим:

$$24^6-1=(24^3-1)(24^3+1),$$

а также

$$24^3-1=(24-1)(24^2+24+1)=23\cdot 601,$$

$$24^3+1=(24+1)(24^2-24+1)=25\cdot 553.$$

Тогда

$$24^{24}-1=23\cdot 601\cdot 25\cdot 553\cdot (24^6+1)(24^{12}+1).$$

Так как $$25$$ делится на $$5$$, а $$553$$ делится на $$7$$, то произведение $$25\cdot 553$$ делится на $$5\cdot 7=35$$. Значит, всё произведение делится на $$35$$.

Следовательно, число $$24^{24}-1$$ кратно $$35$$.

Ответ

$$24^{24}-1$$ кратно $$35$$.