Упр.30.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) a=5^52, b=53; 2) a=2^47, b=41.

1. Так как $$53$$ — простое число, по малой теореме Ферма имеем:

   $$5^{53}\equiv 5 \pmod{53}.$$

   Тогда

   $$5^{53}-5\equiv 0 \pmod{53},$$

   то есть

   $$5\left(5^{52}-1\right)\equiv 0 \pmod{53}.$$

   Так как $$5\not\equiv 0 \pmod{53},$$ получаем:

   $$5^{52}\equiv 1 \pmod{53}.$$

2. Так как $$41$$ — простое число, по малой теореме Ферма:

   $$2^{40}\equiv 1 \pmod{41}.$$

   Тогда

   $$2^{47}=2^{40}\cdot 2^7\equiv 1\cdot 2^7 \pmod{41}.$$

   Вычислим:

   $$2^7=128,$$

   $$128\equiv 5 \pmod{41}.$$

   Значит,

   $$2^{47}\equiv 5 \pmod{41}.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$5$$.