Упр.30.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.32. Докажите, что при любом натуральном a значение выражения a^57 -39a^3 кратно 19.

Преобразуем выражение:

$$ a^{57}-39a^3=a^{57}-a^3-38a^3=(a^{19})^3-a^3-38a^3. $$

Используем формулу разности кубов:

$$ (a^{19})^3-a^3=(a^{19}-a)(a^{38}+a^{20}+a^2). $$

Тогда

$$ a^{57}-39a^3=(a^{19}-a)(a^{38}+a^{20}+a^2)-38a^3. $$

По малой теореме Ферма для простого числа $19$ имеем:

$$ a^{19}\equiv a \pmod{19}, $$

значит,

$$ a^{19}-a\equiv 0 \pmod{19}. $$

Следовательно, произведение

$$ (a^{19}-a)(a^{38}+a^{20}+a^2) $$

делится на $19$.

Кроме того,

$$ 38a^3=19\cdot 2a^3, $$

то есть $38a^3$ тоже кратно $19$.

Значит, и разность

$$ a^{57}-39a^3 $$

кратна $19$.

Ответ

$$ a^{57}-39a^3 \text{ кратно } 19. $$