Упр.30.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном $$a$$ значение выражения $$a^{57}-39a^3$$ кратно 19.

Преобразуем выражение:

$$a^{57}-39a^3=a^{57}-a^3-38a^3=(a^{19})^3-a^3-38a^3.$$

Используем формулу разности кубов:

$$(a^{19})^3-a^3=(a^{19}-a)(a^{38}+a^{20}+a^2).$$

Тогда

$$a^{57}-39a^3=(a^{19}-a)(a^{38}+a^{20}+a^2)-38a^3.$$

По малой теореме Ферма для простого числа $$19$$ имеем:

$$a^{19}\equiv a \pmod{19},$$

значит,

$$a^{19}-a\equiv 0 \pmod{19}.$$

Следовательно, произведение

$$(a^{19}-a)(a^{38}+a^{20}+a^2)$$

делится на $$19$$.

Кроме того,

$$38a^3=19\cdot 2a^3,$$

то есть $$38a^3$$ тоже кратно $$19$$.

Значит, и разность

$$a^{57}-39a^3$$

кратна $$19$$.

Ответ

$$a^{57}-39a^3 \text{ кратно } 19.$$