Упр.30.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.31. Докажите, что при любом натуральном a значение выражения a^14 +13a^2 кратно 7.

По малой теореме Ферма для любого натурального $$a$$ имеем:

$$a^7 \equiv a \pmod 7.$$

Возведём это сравнение в квадрат:

$$a^{14} \equiv a^2 \pmod 7.$$

Тогда

$$a^{14}+13a^2 \equiv a^2+13a^2 \equiv 14a^2 \pmod 7.$$

Так как $$14a^2$$ делится на $$7$$, то и выражение $$a^{14}+13a^2$$ делится на $$7$$.

Ответ

$$a^{14}+13a^2$$ кратно $$7$$ при любом натуральном $$a$$.