Упр.30.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.30. Натуральные числа a, b, c таковы, что (a+b+c) ? 13. докажите, что число a^13 +b^13 +c^13 также кратно 13.

По малой теореме Ферма для простого числа $$13$$ имеем:

$$a^{13}\equiv a \pmod{13}, \qquad b^{13}\equiv b \pmod{13}, \qquad c^{13}\equiv c \pmod{13}.$$

Сложим эти сравнения:

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}\equiv a+b+c \pmod{13}.$$

Так как по условию $$a+b+c$$ кратно $$13$$, то

$$a+b+c\equiv 0 \pmod{13}.$$

Следовательно,

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}\equiv 0 \pmod{13},$$

то есть число $$a^{13}+b^{13}+c^{13}$$ также кратно $$13$$.

Ответ

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}$$ кратно $$13$$.