Упр.30.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Натуральные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ таковы, что $$(a+b+c)\ ?\ 13$$. Докажите, что число $$a^{13}+b^{13}+c^{13}$$ также кратно $$13$$.

По малой теореме Ферма для простого числа $$13$$ имеем:

$$a^{13}\equiv a \pmod{13}, \qquad b^{13}\equiv b \pmod{13}, \qquad c^{13}\equiv c \pmod{13}.$$

Сложим эти сравнения:

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}\equiv a+b+c \pmod{13}.$$

Так как по условию $$a+b+c$$ кратно $$13$$, то

$$a+b+c\equiv 0 \pmod{13}.$$

Следовательно,

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}\equiv 0 \pmod{13},$$

то есть число $$a^{13}+b^{13}+c^{13}$$ также кратно $$13$$.

Ответ

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}$$ кратно $$13$$.