Упр.30.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все натуральные $$m$$, при которых значение выражения $$m^4+m^2+1$$ является простым числом.

Преобразуем выражение:

$$m^4+m^2+1=m^4+2m^2+1-m^2=(m^2+1)^2-m^2.$$

Разность квадратов:

$$(m^2+1)^2-m^2=(m^2+1-m)(m^2+1+m).$$

Чтобы произведение двух натуральных множителей было простым числом, один из множителей должен быть равен $$1$$.

Рассмотрим случаи:

1. $$m^2+1-m=1$$

   $$m^2-m=0$$

   $$m(m-1)=0$$

   Отсюда $$m=0$$ или $$m=1$$. Так как $$m$$ — натуральное число, подходит только $$m=1$$.

   Проверка:

   $$1^4+1^2+1=1+1+1=3,$$

   а $$3$$ — простое число.

2. $$m^2+1+m=1$$

   $$m^2+m=0$$

   $$m(m+1)=0$$

   Отсюда $$m=0$$ или $$m=-1$$, но натуральных значений нет.

Следовательно, подходит только $$m=1$$.

Ответ

$$m=1$$