Упр.30.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.27. Найдите все натуральные n, при которых значение выражения n^4 +4 является простым числом.

Преобразуем выражение:

$$ n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2 $$

По формуле разности квадратов получаем:

$$ n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2) $$

Чтобы произведение двух натуральных чисел было простым, один из множителей должен быть равен $$1$$.

Рассмотрим случаи:

$$ n^2-2n+2=1 $$

$$ n^2-2n+1=0 $$

$$ (n-1)^2=0 $$

$$ n=1 $$

Тогда второй множитель равен:

$$ n^2+2n+2=1+2+2=5 $$

Это простое число.

Второй случай:

$$ n^2+2n+2=1 $$

$$ n^2+2n+1=0 $$

$$ (n+1)^2=0 $$

$$ n=-1 $$

Но $$-1$$ не является натуральным числом.

Ответ

$$n=1$$