Упр.30.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все натуральные $$n$$, при которых значение выражения $$n^4+4$$ является простым числом.

Преобразуем выражение:

$$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$$

По формуле разности квадратов получаем:

$$n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)$$

Чтобы произведение двух натуральных чисел было простым, один из множителей должен быть равен $$1$$.

Рассмотрим случаи:

$$n^2-2n+2=1$$

$$n^2-2n+1=0$$

$$(n-1)^2=0$$

$$n=1$$

Тогда второй множитель равен:

$$n^2+2n+2=1+2+2=5$$

Это простое число.

Второй случай:

$$n^2+2n+2=1$$

$$n^2+2n+1=0$$

$$(n+1)^2=0$$

$$n=-1$$

Но $$-1$$ не является натуральным числом.

Ответ

$$n=1$$