Упр.30.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.24. Числа p и p^2 +2 — простые. Найдите p.

Рассмотрим два случая.

1) Если $$p \ne 3,$$ то простое число $$p$$ не делится на $$3,$$ значит, $$p^2 \equiv 1 \pmod 3.$$ Тогда

$$p^2+2 \equiv 1+2 \equiv 0 \pmod 3,$$

то есть число $$p^2+2$$ делится на $$3$$. Поскольку $$p^2+2>3,$$ оно составное.

2) Значит, остаётся $$p=3.$$ Проверим:

$$p^2+2=3^2+2=9+2=11,$$

а число $$11$$ — простое.

Следовательно, подходит только $$p=3.$$

Ответ

$$p=3$$