Упр.30.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.23. Числа p и p^(p+1) +2 — простые. Найдите p.

Рассмотрим число $$p^{p+1}+2.$$

Если $$p \ne 3,$$ то простое число $$p$$ не делится на $$3,$$ значит, $$p \equiv 1 \text{ или } 2 \pmod{3}.$$ В любом случае

$$p^{p+1} \equiv 1 \pmod{3}.$$

Тогда

$$p^{p+1}+2 \equiv 1+2 \equiv 0 \pmod{3},$$

то есть число $$p^{p+1}+2$$ делится на $$3$$. При этом оно больше $$3,$$ значит, составное.

Следовательно, случай $$p \ne 3$$ невозможен. Остаётся проверить $$p=3$$:

$$3^{3+1}+2=3^4+2=81+2=83.$$

Число $$83$$ — простое.

Ответ

$$p=3.$$