Упр.30.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.22. Числа p и 8p^2 +1 — простые. Найдите p.

Пусть $$p$$ — простое число. Проверим, может ли оно быть отличным от $$3$$.

Если $$p \ne 3$$, то простое число $$p$$ не делится на $$3$$, значит

$$p^2 \equiv 1 \pmod 3.$$

Тогда

$$8p^2+1 \equiv 8\cdot 1+1=9 \equiv 0 \pmod 3.$$

Следовательно, число $$8p^2+1$$ делится на $$3$$. Так как оно больше $$3$$, то оно составное. Это противоречит условию.

Значит, $$p=3$$. Проверим:

$$8\cdot 3^2+1=8\cdot 9+1=72+1=73,$$

а число $$73$$ — простое.

Ответ

$$p=3$$