Упр.30.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.21. Целые числа m и n таковы, что значение выражения m^2 -15mn+n^2 кратно 17. Докажите, что значение выражения m+n кратно 17.

Из условия известно, что $$m^2-15mn+n^2$$ кратно $$17$$.

Преобразуем выражение:

$$ m^2-15mn+n^2=m^2+2mn+n^2-17mn=(m+n)^2-17mn. $$

Так как $$m^2-15mn+n^2$$ делится на $$17$$, то и выражение $$ (m+n)^2-17mn $$ делится на $$17$$.

Число $$17mn$$ также кратно $$17$$, значит, из делимости разности следует, что $$ (m+n)^2 $$ кратно $$17$$.

Поскольку $$17$$ — простое число, из делимости $$ (m+n)^2 $$ на $$17$$ следует делимость $$m+n$$ на $$17$$.

Следовательно, $$m+n$$ кратно $$17$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$m+n$$ кратно $$17$$.