Упр.30.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Целые числа $$a$$ и $$b$$ таковы, что значение выражения $$a^2+9ab+b^2$$ кратно $$11$$. Докажите, что значение выражения $$a-b$$ кратно $$11$$.

Из условия известно, что $$a^2+9ab+b^2$$ кратно $$11$$.

Преобразуем выражение:

$$a^2+9ab+b^2=a^2-2ab+b^2+11ab=(a-b)^2+11ab.$$

Так как $$a^2+9ab+b^2$$ делится на $$11$$, то и разность

$$(a-b)^2=(a^2+9ab+b^2)-11ab$$

тоже делится на $$11$$, поскольку $$11ab$$ кратно $$11$$.

Значит, $$(a-b)^2$$ кратно $$11$$. Так как $$11$$ — простое число, из делимости квадрата на $$11$$ следует делимость самого числа на $$11$$. Следовательно, $$a-b$$ кратно $$11$$.

Ответ

$$a-b$$ кратно $$11$$.