Упр.30.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.20. Целые числа a и b таковы, что значение выражения a^2 +9ab+b^2 кратно 11. Докажите, что значение выражения a-b кратно 11.

Из условия известно, что $$a^2+9ab+b^2$$ кратно $$11$$.

Преобразуем выражение:

$$ a^2+9ab+b^2=a^2-2ab+b^2+11ab=(a-b)^2+11ab. $$

Так как $$a^2+9ab+b^2$$ делится на $$11$$, то и разность

$$ (a-b)^2=(a^2+9ab+b^2)-11ab $$

тоже делится на $$11$$, поскольку $$11ab$$ кратно $$11$$.

Значит, $$ (a-b)^2 $$ кратно $$11$$. Так как $$11$$ — простое число, из делимости квадрата на $$11$$ следует делимость самого числа на $$11$$. Следовательно, $$a-b$$ кратно $$11$$.

Ответ

$$a-b$$ кратно $$11$$.