Упр.30.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.19. Числа m и n таковы, что 37m=55n. Докажите, что число m-n является составным.

Из условия имеем:

$$37m=55n$$

Перенесём $37n$ в левую часть:

$$37m-37n=55n-37n$$

$$37(m-n)=18n$$

Так как $$\gcd(37,18)=1,$$ то число $37$ и число $18$ взаимно просты. Значит, из равенства $$37(m-n)=18n$$ следует, что $$m-n$$ делится на $18$.

Но $$18=2\cdot 3^2$$ — составное число. Следовательно, число $m-n$ имеет делитель, отличный от $1$ и самого себя, то есть является составным.

Ответ

$$m-n$$ — составное число.