Упр.30.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все простые числа $$p$$ такие, что числа $$2p+1$$ и $$4p+1$$ простые.

Рассмотрим числа $$2p+1$$ и $$4p+1$$. Их разность равна

$$(4p+1)-(2p+1)=2p.$$

Если $$p \neq 3$$, то простое число $$p$$ не делится на $$3$$, значит $$p \equiv 1$$ или $$p \equiv 2 \pmod 3$$. Тогда

$$2p+1 \equiv 2\cdot 1+1 \equiv 0 \pmod 3$$

или

$$2p+1 \equiv 2\cdot 2+1 \equiv 2 \pmod 3,$$

а аналогично для $$4p+1$$. Следовательно, среди чисел $$2p+1$$ и $$4p+1$$ одно обязательно делится на $$3$$. Так как оно простое, то оно должно быть равно $$3$$.

Проверим, при каком $$p$$ это возможно:

$$2p+1=3 \Rightarrow p=1,$$

но $$1$$ не является простым числом.

Значит, остаётся случай $$p=3$$. Тогда

$$2p+1=2\cdot 3+1=7,$$

$$4p+1=4\cdot 3+1=13.$$

Оба числа простые.

Ответ

$$p=3$$.