Упр.30.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Простые числа $$p$$ и $$q$$ таковы, что $$p>3$$, $$q>3$$. Докажите, что $$p^2-q^2\ ?\ 24$$.

Так как $$p$$ и $$q$$ — простые числа и $$p>3,\ q>3$$, то они не делятся на $$2$$ и $$3$$. Значит, числа $$p$$ и $$q$$ имеют вид $$6k\pm 1$$, а потому из известного результата для простых чисел больше $$3$$ следует, что

$$p^2-1 \text{ делится на } 24,\qquad q^2-1 \text{ делится на } 24.$$

Тогда разность этих чисел тоже делится на $$24$$:

$$p^2-q^2=(p^2-1)-(q^2-1).$$

Так как оба слагаемых справа делятся на $$24$$, то и их разность делится на $$24$$. Следовательно,

$$p^2-q^2 \text{ делится на } 24.$$

Ответ

$$p^2-q^2 : 24.$$