Упр.30.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.14. Докажите, что если p — простое число и p > 3, то (p^2 -1) ? 24.

Подробный ответ

Если $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то по известному утверждению любое такое простое число имеет вид $$p=6k+1$$ или $$p=6k-1$$, где $$k\in \mathbb{N}$$.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$p=6k+1$$, то

$$ p^2-1=(6k+1)^2-1=36k^2+12k+1-1=36k^2+12k=12k(3k+1). $$

Если $$k$$ чётное, то $$12k$$ делится на $$24$$, значит, и всё выражение делится на $$24$$.

Если $$k$$ нечётное, то $$3k+1$$ — чётное число, следовательно, произведение $$12k(3k+1)$$ делится на $$24$$.

2) Если $$p=6k-1$$, то

$$ p^2-1=(6k-1)^2-1=36k^2-12k+1-1=36k^2-12k=12k(3k-1). $$

Если $$k$$ чётное, то $$12k$$ делится на $$24$$, значит, и всё выражение делится на $$24$$.

Если $$k$$ нечётное, то $$3k-1$$ — чётное число, следовательно, произведение $$12k(3k-1)$$ делится на $$24$$.

Итак, в любом случае $$p^2-1$$ делится на $$24$$.