Упр.30.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то $$p^2-1\mathrel{\vdots}24$$.

Если $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то по известному утверждению любое такое простое число имеет вид $$p=6k+1$$ или $$p=6k-1$$, где $$k\in \mathbb{N}$$.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$p=6k+1$$, то

$$p^2-1=(6k+1)^2-1=36k^2+12k+1-1=36k^2+12k=12k(3k+1).$$

Если $$k$$ чётное, то $$12k$$ делится на $$24$$, значит, и всё выражение делится на $$24$$.

Если $$k$$ нечётное, то $$3k+1$$ — чётное число, следовательно, произведение $$12k(3k+1)$$ делится на $$24$$.

2) Если $$p=6k-1$$, то

$$p^2-1=(6k-1)^2-1=36k^2-12k+1-1=36k^2-12k=12k(3k-1).$$

Если $$k$$ чётное, то $$12k$$ делится на $$24$$, значит, и всё выражение делится на $$24$$.

Если $$k$$ нечётное, то $$3k-1$$ — чётное число, следовательно, произведение $$12k(3k-1)$$ делится на $$24$$.

Итак, в любом случае $$p^2-1$$ делится на $$24$$.

Ответ

$$p^2-1 \text{ делится на } 24.$$