Упр.30.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) n^3 +1; 2) 3n^2 +4n-15; 3) 8^n -1.

1. $$n^3+1=(n+1)(n^2-n+1).$$

   Чтобы произведение было простым числом, один из множителей должен быть равен $$1$$, а другой — простому числу.

   Рассмотрим возможные случаи:

   $$n+1=1 \Rightarrow n=0,$$

   но $$0 \notin \mathbb{N}.$$

   Тогда

   $$n^2-n+1=1 \Rightarrow n^2-n=0 \Rightarrow n(n-1)=0,$$

   откуда $$n=0$$ или $$n=1.$$

   Так как $$n \in \mathbb{N},$$ получаем $$n=1.$$ Проверка:

   $$1^3+1=2,$$

   это простое число.

2. $$3n^2+4n-15=3n^2+9n-5n-15=(n+3)(3n-5).$$

   Чтобы произведение было простым, один из множителей должен равняться $$1.$$

   Если $$n+3=1,$$ то $$n=-2,$$ что не подходит.

   Если $$3n-5=1,$$ то

   $$3n=6 \Rightarrow n=2.$$

   Проверка:

   $$3\cdot 2^2+4\cdot 2-15=12+8-15=5,$$

   это простое число.

3. $$8^n-1=(8-1)(8^{n-1}+8^{n-2}+\dots+8+1)=7(8^{n-1}+8^{n-2}+\dots+8+1).$$

   Чтобы это число было простым, второй множитель должен быть равен $$1.$$ Это возможно только при $$n=1.$$

   Проверка:

   $$8^1-1=7,$$

   это простое число.

Ответ

1) $$n=1$$; 2) $$n=2$$; 3) $$n=1$$.