Упр.30.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все натуральные $$n$$, при которых является простым числом значение выражения: 1) $$n^3-1$$; 2) $$4n^2+5n-21$$; 3) $$3^n-1$$.

1. $$n^3-1=(n-1)(n^2+n+1).$$

   Чтобы произведение было простым числом, один из множителей должен быть равен $$1$$, а другой — простому числу.

   Рассмотрим случаи:

   $$n-1=1 \Rightarrow n=2.$$

   При $$n=2$$ получаем:

   $$2^3-1=8-1=7,$$

   это простое число.

   Значит, $$n=2$$.

2. $$4n^2+5n-21=4n^2+12n-7n-21=4n(n+3)-7(n+3)=(n+3)(4n-7).$$

   Чтобы произведение было простым, один из множителей должен быть равен $$1$$.

   Проверим:

   $$n+3=1 \Rightarrow n=-2 \notin \mathbb{N},$$

   $$4n-7=1 \Rightarrow 4n=8 \Rightarrow n=2.$$

   При $$n=2$$:

   $$4\cdot 2^2+5\cdot 2-21=16+10-21=5,$$

   это простое число.

   Значит, $$n=2$$.

3. $$3^n-1=(3-1)(3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3+1)=2(3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3+1).$$

   Это число может быть простым только тогда, когда второй множитель равен $$1$$:

   $$3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3+1=1.$$

   Так возможно только при $$n=1$$.

   Проверим:

   $$3^1-1=3-1=2,$$

   это простое число.

   Значит, $$n=1$$.

Ответ

1) $$n=2$$; 2) $$n=2$$; 3) $$n=1$$.