Упр.30.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.11. Найдите все натуральные n, при которых значение выражения n^2 -1 является простым числом.

Разложим выражение на множители:

$$n^2-1=(n-1)(n+1).$$

Числа $$n-1$$ и $$n+1$$ — два соседних чётных или нечётных числа, поэтому их разность равна $$2$$. Если оба множителя больше $$1$$, то произведение $$n^2-1$$ будет составным числом.

Чтобы произведение было простым, один из множителей должен быть равен $$1$$. Это возможно только при

$$n-1=1,$$

откуда

$$n=2.$$

Проверим:

$$2^2-1=4-1=3,$$

а число $$3$$ — простое.

Ответ

$$n=2.$$