Упр.3.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 3.25. Докажите, что количество пар целых чисел (x; у), удовлетворяющих уравнению х^2 + у^2 = n (n ? N), равно количеству пар целых чисел (x; у), удовлетворяющих уравнению х^2 + у^2 = 2n. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 3-25 827

Подробный ответ

Пусть пара целых чисел $$\left(x_0;y_0\right)$$ является решением уравнения $$x^2+y^2=n.$$ Тогда пара чисел $$\left(x_0-y_0;\,x_0+y_0\right)$$ является решением уравнения $$x^2+y^2=2n,$$ так как

$$ (x_0-y_0)^2+(x_0+y_0)^2= x_0^2-2x_0y_0+y_0^2+x_0^2+2x_0y_0+y_0^2= 2x_0^2+2y_0^2=2n. $$

Обратно, если $$\left(x_1;y_1\right)$$ — решение уравнения $$x^2+y^2=2n,$$ то числа $$x_1$$ и $$y_1$$ одной чётности, поэтому пара

$$ \left(\frac{x_1+y_1}{2};\,\frac{y_1-x_1}{2}\right) $$

является решением уравнения $$x^2+y^2=n,$$ так как

$$ \left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)^2+\left(\frac{y_1-x_1}{2}\right)^2= \frac{x_1^2+2x_1y_1+y_1^2+y_1^2-2x_1y_1+x_1^2}{4} = \frac{2x_1^2+2y_1^2}{4} = \frac{2(x_1^2+y_1^2)}{4} = n. $$

Следовательно, между решениями уравнений $$x^2+y^2=n$$ и $$x^2+y^2=2n$$ существует взаимно однозначное соответствие. Значит, количество пар целых чисел $$\left(x;y\right)$$, удовлетворяющих уравнению $$x^2+y^2=n,$$, равно количеству пар целых чисел $$\left(x;y\right)$$, удовлетворяющих уравнению $$x^2+y^2=2n.$$