Упр.3.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 3.21. Автобусные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Билет называют «счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что количество всех «счастливых» билетов чётно. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 3-21 827

Подробный ответ

Пусть счастливый билет имеет номер $$\overline{abcdef},$$ тогда по условию

$$a+b+c=d+e+f.$$

Рассмотрим билет с номером $$\overline{(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(9-e)(9-f)}.$$

Проверим, что он тоже счастливый:

$$ (9-a)+(9-b)+(9-c)=(9-d)+(9-e)+(9-f) $$

так как

$$ 27-(a+b+c)=27-(d+e+f). $$

Значит, каждому счастливому билету соответствует другой счастливый билет. При этом билет $$999999$$ переходит сам в себя, потому что

$$9+9+9=9+9+9.$$

Следовательно, все счастливые билеты разбиваются на пары, кроме одного билета $$999999$$. Поэтому число счастливых билетов имеет вид $$2k+1$$, то есть оно нечётно.