Упр.3.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

В олимпиаде приняли участие 46 учащихся. Им было предложено 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что каждый из участников решил хотя бы одну задачу, причём первую и вторую задачу решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.

Подробный ответ

Обозначим через $$A$$ множество учащихся, решивших только первую задачу, через $$B$$ — только вторую, через $$C$$ — только третью.

Тогда по условию:

$$n(A \cup B \cup C)=46,$$

$$n(A \cap B)=11,\quad n(A \cap C)=5,\quad n(B \cap C)=8,\quad n(A \cap B \cap C)=2.$$

По формуле включений и исключений получаем:

$$n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(A \cap C)-n(B \cap C)+n(A \cap B \cap C).$$

Отсюда

$$n(A)+n(B)+n(C)=46+11+5+8-2=68.$$

Предположим, что каждую задачу решили менее чем половина участников, то есть не более $$23$$ человек. Тогда

$$n(A)+n(B)+n(C)\le 23+23+23=69.$$

Но при этом сумма равна $$68$$, значит, хотя бы одна из задач была решена не менее чем $$23$$ участниками. Поскольку половина от $$46$$ равна $$23$$, это и означает, что одну из задач решили не менее половины участников.