Упр.3.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Множество $$A$$ содержит 100 элементов. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное количество элементов.

Подробный ответ

Пусть $$B \subset A$$ — подмножество, содержащее чётное число элементов. Сопоставим ему множество $$C = A \setminus B$$.

Так как в множестве $$A$$ содержится $$100$$ элементов, то число элементов в $$C$$ равно $$100 — |B|$$. Поскольку $$100$$ — чётное число, а $$|B|$$ чётно, то и $$|C|$$ тоже чётно.

Если же $$B$$ содержит нечётное число элементов, то множество $$C = A \setminus B$$ будет содержать нечётное число элементов, так как $$100 — \text{нечётное} = \text{нечётное}$$.

Таким образом, каждому подмножеству с чётным числом элементов соответствует подмножество с нечётным числом элементов, и наоборот. Эти подмножества разбиваются на пары $$\{B,\, A \setminus B\}$$.

Поскольку для каждого подмножества существует единственное парное ему подмножество, количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.