Упр.3.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 3.17. Множество А содержит 101 элемент. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное количество элементов. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 3-17 827

Подробный ответ

Пусть $$B \subset A$$ — подмножество, содержащее чётное число элементов. Сопоставим ему множество $$C = A \setminus B$$.

Так как в множестве $$A$$ содержится $$101$$ элемент, то число элементов в $$C$$ имеет противоположную чётность по сравнению с числом элементов в $$B$$. Значит, если $$B$$ содержит чётное число элементов, то $$C$$ содержит нечётное число элементов, и наоборот.

При этом каждому подмножеству с чётным числом элементов соответствует единственное подмножество с нечётным числом элементов. Это соответствие взаимно однозначно, потому что для любого подмножества $$B$$ выполняется

$$A \setminus (A \setminus B)=B.$$

Следовательно, подмножества множества $$A$$ разбиваются на пары вида $$\{B,\ A \setminus B\}$$, где одно подмножество имеет чётное число элементов, а другое — нечётное. Поэтому количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.