Упр.3.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 3.13. В выпуклом n-угольнике (n ? 4) никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Докажите, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного n-угольника. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 3-13 827

Подробный ответ

Каждому четырёхугольнику с вершинами в вершинах данного выпуклого $n$-угольника соответствует одна точка пересечения его диагоналей.

И наоборот, каждой точке пересечения двух диагоналей соответствует четырёхугольник, вершинами которого являются концы этих диагоналей.

Значит, число всех точек пересечения диагоналей равно числу четырёхугольников, которые можно составить из вершин данного $n$-угольника.

Число таких четырёхугольников равно числу способов выбрать $4$ вершины из $n$:

$$C_n^4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}.$$