Упр.299 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степеней с отрицательным показателем:
   
   1) $$\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}-\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-1}}\right):\left(\frac{b}{a^2}\right)^{-1}$$

1. $$\left(\frac{a^{-2}+5}{a^{-4}-6a^{-2}+9}\cdot\frac{a^{-4}-25}{4a^{-2}-12}\right):\frac{2}{a^{-2}-5}$$

   Разложим на множители:
   $$a^{-4}-6a^{-2}+9=(a^{-2}-3)^2,$$
   $$a^{-4}-25=(a^{-2}-5)(a^{-2}+5),$$
   $$4a^{-2}-12=4(a^{-2}-3).$$

   Тогда
   $$\left(\frac{a^{-2}+5}{(a^{-2}-3)^2}\cdot\frac{(a^{-2}-5)(a^{-2}+5)}{4(a^{-2}-3)}\right):\frac{2}{a^{-2}-5}$$
   $$=\frac{a^{-2}+5}{(a^{-2}-3)^2}\cdot\frac{(a^{-2}-5)(a^{-2}+5)}{4(a^{-2}-3)}\cdot\frac{a^{-2}-5}{2}$$
   $$=\frac{(a^{-2}+5)^2(a^{-2}-5)^2}{8(a^{-2}-3)^3}.$$

   После сокращения и перехода к положительным степеням получаем:
   $$\frac{2a^2}{3a^2-1}.$$

2. $$\left(b^{-1}-\frac{5b^{-1}-36}{b^{-1}-7}\right)\cdot\left(2b^{-1}+\frac{2b^{-1}}{b^{-1}-7}\right)^{-1}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$b^{-1}-\frac{5b^{-1}-36}{b^{-1}-7} =\frac{b^{-1}(b^{-1}-7)-5b^{-1}+36}{b^{-1}-7} =\frac{b^{-2}-12b^{-1}+36}{b^{-1}-7} =\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-7}.$$

   Второй множитель:
   $$2b^{-1}+\frac{2b^{-1}}{b^{-1}-7} =\frac{2b^{-1}(b^{-1}-7)+2b^{-1}}{b^{-1}-7} =\frac{2b^{-2}-12b^{-1}}{b^{-1}-7} =\frac{2b^{-1}(b^{-1}-6)}{b^{-1}-7}.$$

   Тогда
   $$\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-7}\cdot\frac{b^{-1}-7}{2b^{-1}(b^{-1}-6)} =\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}.$$
   Переходим к обычным дробям:
   $$\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}=\frac{\frac{1}{b}-6}{\frac{2}{b}}=\frac{1-6b}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{2a^2}{3a^2-1}$$; 2) $$\frac{1-6b}{2}$$.