Упр.29.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.9. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы образовавшееся число было кратно 15. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

Число делится на $$15$$ тогда и только тогда, когда оно делится на $$3$$ и на $$5$$.

Пусть к числу $$15$$ слева и справа дописали по одной цифре. Тогда получаем число вида $$a15b$$, где $$a$$ и $$b$$ — цифры.

Чтобы число делилось на $$5$$, последняя цифра должна быть $$0$$ или $$5$$.

1) Если $$b=0$$, то сумма цифр равна

$$a+1+5+0=a+6.$$

Для делимости на $$3$$ нужно, чтобы $$a+6$$ делилось на $$3$$, значит, $$a$$ должно делиться на $$3$$. Подходят цифры $$3, 6, 9$$.

Получаем числа: $$3150, 6150, 9150$$.

2) Если $$b=5$$, то сумма цифр равна

$$a+1+5+5=a+11.$$

Для делимости на $$3$$ нужно, чтобы $$a+11$$ делилось на $$3$$. Так как $$11 \equiv 2 \pmod{3}$$, то $$a \equiv 1 \pmod{3}$$. Подходят цифры $$1, 4, 7$$.

Получаем числа: $$1155, 4155, 7155$$.

Итак, всего таких чисел $$6$$.