Упр.29.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_k a_{k-1}\ldots a_0}_5 \equiv \overline{a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_0}_5 \pmod{5^k}.$$

Рассмотрим число

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}$$

и запишем его через разряды:

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\dots+a_k10^k+\dots+a_0.$$

Нужно доказать, что

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}\equiv \overline{a_{k-1}a_{k-2}\dots a_0}\pmod{5^k}.$$

Для этого заметим, что при любом $$m\ge k$$ число $$10^m$$ делится на $$5^k$$, так как

$$10^m=(2\cdot 5)^m$$

содержит множитель $$5^k$$.

Значит, все слагаемые

$$a_k10^k+a_{k+1}10^{k+1}+\dots+a_n10^n$$

кратны $$5^k$$ и при сравнении по модулю $$5^k$$ дают остаток $$0$$.

Тогда

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}\equiv a_{k-1}10^{k-1}+a_{k-2}10^{k-2}+\dots+a_0\pmod{5^k}.$$

Но правая часть — это и есть число

$$\overline{a_{k-1}a_{k-2}\dots a_0}.$$

Следовательно,

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}\equiv \overline{a_{k-1}a_{k-2}\dots a_0}\pmod{5^k}.$$

Ответ

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}\equiv \overline{a_{k-1}a_{k-2}\dots a_0}\pmod{5^k}.$$