Упр.29.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.5. Докажите, что ?(a_n a_(n-1)…a_2 a_1 a_0 )??(a_2 a_1 a_0 ) (mod 125).

Рассмотрим число $$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}$$ и запишем его по разрядам:

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}=10^n a_n+10^{n-1}a_{n-1}+\dots+10^2a_2+10a_1+a_0.$$

Так как

$$10^3=1000\equiv 0 \pmod{125},$$

то и все степени $$10^k$$ при $$k\ge 3$$ сравнимы с нулём по модулю $$125$$. Значит,

$$10^n a_n+10^{n-1}a_{n-1}+\dots+10^3a_3\equiv 0 \pmod{125}.$$

Тогда остаётся

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}\equiv 100a_2+10a_1+a_0 \pmod{125}.$$

Но

$$\overline{a_2 a_1 a_0}=100a_2+10a_1+a_0,$$

следовательно,

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}\equiv \overline{a_2 a_1 a_0}\pmod{125}.$$

Ответ

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}\equiv \overline{a_2 a_1 a_0}\pmod{125}.$$