Упр.29.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}\equiv\overline{a_2 a_1 a_0}\pmod{8}.$$

Запишем числа в виде разложения по степеням десяти:

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0} =10^n a_n+10^{n-1}a_{n-1}+\dots+10^2a_2+10a_1+a_0.$$

Так как

$$10\equiv 2 \pmod{8}, \qquad 10^2\equiv 4 \pmod{8}, \qquad 10^3\equiv 0 \pmod{8},$$

то для всех степеней выше второй имеем

$$10^k\equiv 0 \pmod{8}, \qquad k\ge 3.$$

Умножим сравнения на соответствующие цифры:

$$10^n a_n\equiv 0 \pmod{8}, \quad 10^{n-1}a_{n-1}\equiv 0 \pmod{8}, \quad \dots, \quad 10^3a_3\equiv 0 \pmod{8},$$

$$10^2a_2\equiv 4a_2 \pmod{8}, \qquad 10a_1\equiv 2a_1 \pmod{8}, \qquad a_0\equiv a_0 \pmod{8}.$$

Сложим эти сравнения:

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0} \equiv 4a_2+2a_1+a_0 \pmod{8}.$$

Теперь рассмотрим число

$$\overline{a_2 a_1 a_0}=100a_2+10a_1+a_0.$$

По модулю $$8$$ получаем:

$$100\equiv 4 \pmod{8}, \qquad 10\equiv 2 \pmod{8},$$

значит

$$\overline{a_2 a_1 a_0}\equiv 4a_2+2a_1+a_0 \pmod{8}.$$

Следовательно,

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}\equiv \overline{a_2 a_1 a_0}\pmod{8}.$$

Ответ

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}\equiv \overline{a_2 a_1 a_0}\pmod{8}.$$