Упр.29.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.4. Докажите, что ?(a_n a_(n-1)…a_2 a_1 a_0 )??(a_2 a_1 a_0 ) (mod 8).

Запишем числа в виде разложения по степеням десяти:

$$ \overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0} =10^n a_n+10^{n-1}a_{n-1}+\dots+10^2a_2+10a_1+a_0. $$

Так как

$$ 10\equiv 2 \pmod{8}, \qquad 10^2\equiv 4 \pmod{8}, \qquad 10^3\equiv 0 \pmod{8}, $$

то для всех степеней выше второй имеем

$$ 10^k\equiv 0 \pmod{8}, \qquad k\ge 3. $$

Умножим сравнения на соответствующие цифры:

$$ 10^n a_n\equiv 0 \pmod{8}, \quad 10^{n-1}a_{n-1}\equiv 0 \pmod{8}, \quad \dots, \quad 10^3a_3\equiv 0 \pmod{8}, $$

$$ 10^2a_2\equiv 4a_2 \pmod{8}, \qquad 10a_1\equiv 2a_1 \pmod{8}, \qquad a_0\equiv a_0 \pmod{8}. $$

Сложим эти сравнения:

$$ \overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0} \equiv 4a_2+2a_1+a_0 \pmod{8}. $$

Теперь рассмотрим число

$$ \overline{a_2 a_1 a_0}=100a_2+10a_1+a_0. $$

По модулю $8$ получаем:

$$ 100\equiv 4 \pmod{8}, \qquad 10\equiv 2 \pmod{8}, $$

значит

$$ \overline{a_2 a_1 a_0}\equiv 4a_2+2a_1+a_0 \pmod{8}. $$

Следовательно,

$$ \overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}\equiv \overline{a_2 a_1 a_0}\pmod{8}. $$

Ответ

$$ \overline{a_n a_{n-1}\dots a_2 a_1 a_0}\equiv \overline{a_2 a_1 a_0}\pmod{8}. $$