Упр.29.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1/x(x+4) +1/((x+4)(x+8))+1/((x+8)(x+12))+1/((x+12)(x+16)).

Преобразуем каждую дробь к разности двух дробей:

$$ \frac{1}{x(x+4)}=\frac14\left(\frac1x-\frac1{x+4}\right), \quad \frac{1}{(x+4)(x+8)}=\frac14\left(\frac1{x+4}-\frac1{x+8}\right), $$
$$ \frac{1}{(x+8)(x+12)}=\frac14\left(\frac1{x+8}-\frac1{x+12}\right), \quad \frac{1}{(x+12)(x+16)}=\frac14\left(\frac1{x+12}-\frac1{x+16}\right). $$

Тогда

$$ \begin{aligned} &\frac{1}{x(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+8)}+\frac{1}{(x+8)(x+12)}+\frac{1}{(x+12)(x+16)} \\ &=\frac14\left(\frac1x-\frac1{x+4}+\frac1{x+4}-\frac1{x+8}+\frac1{x+8}-\frac1{x+12}+\frac1{x+12}-\frac1{x+16}\right) \\ &=\frac14\left(\frac1x-\frac1{x+16}\right). \end{aligned} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac14\left(\frac1x-\frac1{x+16}\right) =\frac14\cdot\frac{x+16-x}{x(x+16)} =\frac14\cdot\frac{16}{x(x+16)} =\frac{4}{x(x+16)}. $$

Ответ: $$\frac{4}{x(x+16)}$$