Упр.29.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.30. Найдите все n ? N, для которых имеет место следующее свойство: если сумма цифр натурального числа делится нацело на n, то и само число делится нацело n.

Рассмотрим числа $$a=11\ldots 12$$ и $$b=11\ldots 121,$$ где в записи числа $$a$$ стоит $$n-2$$ цифры, а в записи числа $$b$$ — $$n-3$$ цифры.

У обоих чисел сумма цифр равна $$n$$, значит, по условию задачи, если сумма цифр делится нацело на $$n$$, то и само число делится нацело на $$n$$. Следовательно,

$$a \equiv 0 \pmod n,\qquad b \equiv 0 \pmod n.$$

Тогда и их разность делится на $$n$$:

$$b-a=111\ldots 121-111\ldots 112=000\ldots 009.$$

Значит, $$9$$ делится на $$n$$, то есть $$n$$ — делитель числа $$9$$.

Делители числа $$9$$: $$1, 3, 9.$$

Ответ

$$1,\ 3,\ 9$$