Упр.29.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.3. Докажите, что ?(a_n a_(n-1)…a_1 a_0 )??(a_1 a_0 ) (mod 25).

Рассмотрим число $$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}.$$

По записи числа в десятичной системе имеем:

$$ \overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0} = a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\dots+a_1\cdot 10+a_0. $$

Так как

$$ 10^2=100 \equiv 0 \pmod{25}, $$

то и для всех $k \ge 2$ выполняется

$$ 10^k \equiv 0 \pmod{25}. $$

Тогда

$$ a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\dots+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10+a_0 \equiv 10a_1+a_0 \pmod{25}. $$

С другой стороны, число $$\overline{a_1a_0}$$ равно

$$ \overline{a_1a_0}=10a_1+a_0. $$

Следовательно,

$$ \overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}\equiv \overline{a_1a_0}\pmod{25}. $$

Ответ

$$ \overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}\equiv \overline{a_1a_0}\pmod{25}. $$