Упр.29.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$?(a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0)??(a_1 a_0)\pmod{25}.$$

Рассмотрим число $$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}.$$

По записи числа в десятичной системе имеем:

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0} = a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\dots+a_1\cdot 10+a_0.$$

Так как

$$10^2=100 \equiv 0 \pmod{25},$$

то и для всех $$k \ge 2$$ выполняется

$$10^k \equiv 0 \pmod{25}.$$

Тогда

$$a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\dots+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10+a_0 \equiv 10a_1+a_0 \pmod{25}.$$

С другой стороны, число $$\overline{a_1a_0}$$ равно

$$\overline{a_1a_0}=10a_1+a_0.$$

Следовательно,

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}\equiv \overline{a_1a_0}\pmod{25}.$$

Ответ

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}\equiv \overline{a_1a_0}\pmod{25}.$$