Упр.29.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.27. Натуральное число n таково, что число n^2 +1 — десятизначное. Докажите, что в записи числа n^2 +1 найдутся две одинаковые цифры.

Подробный ответ

Рассмотрим остатки числа $$n$$ при делении на $$9$$. Тогда возможны случаи:

$$n \equiv a \pmod 9$$	$$n^2 \equiv a^2 \pmod 9$$	$$n^2+1 \pmod 9$$
$$0$$	$$0$$	$$1$$
$$1$$	$$1$$	$$2$$
$$2$$	$$4$$	$$5$$
$$3$$	$$0$$	$$1$$
$$4$$	$$7$$	$$8$$
$$5$$	$$7$$	$$8$$
$$6$$	$$0$$	$$1$$
$$7$$	$$4$$	$$5$$
$$8$$	$$1$$	$$2$$

Из таблицы видно, что число $$n^2+1$$ не делится на $$9$$ ни при каком натуральном $$n$$.

Предположим, что десятизначное число $$n^2+1$$ не содержит одинаковых цифр. Тогда в его записи должны встретиться все цифры от $$0$$ до $$9$$ по одному разу. Сумма этих цифр равна

$$0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,$$

а число с суммой цифр, кратной $$9$$, делится на $$9$$. Значит, такое десятизначное число было бы кратно $$9$$.

Но мы уже установили, что $$n^2+1$$ не делится на $$9$$. Противоречие.

Следовательно, в записи числа $$n^2+1$$ найдутся две одинаковые цифры.