Упр.29.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.26. Натуральное число n таково, что S (n) = S (5n). Докажите, что n кратно 9.

По теореме о делении на 9 имеем:

$$n \equiv S(n) \pmod 9.$$

Так как $$S(n)=S(5n),$$ то

$$n \equiv S(5n) \pmod 9,$$

а также

$$5n \equiv S(5n) \pmod 9.$$

Следовательно,

$$5n \equiv n \pmod 9,$$

откуда

$$4n \equiv 0 \pmod 9.$$

Так как $$\gcd(4,9)=1,$$ то из делимости $$4n$$ на $$9$$ следует делимость $$n$$ на $$9$$.

Ответ

$$n$$ кратно $$9$$.