Упр.29.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) n+S (n)=1001; 2) n+S (n)+S (S (n))=2000.

1) $$n+S(n)=1001.$$

Так как $$S(n)\le 27,$$ то

$$n=1001-S(n)\ge 1001-27=974.$$

Значит, $$n$$ — трёхзначное число. Тогда по признаку делимости на 3 имеем

$$n\equiv S(n)\pmod 3.$$

Следовательно, $$n+S(n)\equiv 2n\pmod 3.$$

Но

$$1001\equiv 2\pmod 3,$$

поэтому нужно проверить числа от $$974$$ до $$999$$, для которых сумма числа и суммы его цифр равна $$1001$$. Подходит

$$982+S(982)=982+19=1001.$$

Проверка показывает, что это единственное решение.

2) $$n+S(n)+S(S(n))=2000.$$

По теореме о делимости на 3:

$$n\equiv S(n)\pmod 3,\qquad S(n)\equiv S(S(n))\pmod 3.$$

Тогда

$$n+S(n)+S(S(n))\equiv 3n\equiv 0\pmod 3.$$

Но

$$2000\equiv 2\pmod 3,$$

что невозможно. Следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ

1) $$n=982$$; 2) решений нет.