Упр.29.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:

$$n+S(n)=1000$$;
$$n^2+\bigl(S(n)\bigr)^2=1000$$.

Подробный ответ

1) $$n+S(n)=1000.$$

Так как $$S(n)\le 27,$$ то

$$n\ge 1000-27=973.$$

Кроме того, по признаку делимости на 3 число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3, то есть

$$n \equiv S(n) \pmod 3.$$

Тогда возможны три случая:

$$\begin{aligned} &n \equiv 0 \pmod 3,\quad S(n)\equiv 0 \pmod 3;\\ &n \equiv 1 \pmod 3,\quad S(n)\equiv 1 \pmod 3;\\ &n \equiv 2 \pmod 3,\quad S(n)\equiv 2 \pmod 3. \end{aligned}$$

Проверим числа от $$973$$ до $$1000$$, кратные соответствующему остатку:

$$973 \equiv 1 \pmod 3,\quad 974 \equiv 2 \pmod 3,\quad 977 \equiv 2 \pmod 3.$$

Для $$n=977$$ имеем $$S(n)=9+7+7=23,$$ и тогда

$$977+23=1000.$$

Значит, $$n=977.$$

2) $$n^2+(S(n))^2=1000.$$

Снова используем свойство:

$$n \equiv S(n) \pmod 3.$$

Тогда

$$n^2 \equiv (S(n))^2 \pmod 3.$$

Рассмотрим возможные остатки:

$$\begin{aligned} &n \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow n^2 \equiv 0 \pmod 3,\ (S(n))^2 \equiv 0 \pmod 3,\\ &n \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \pmod 3,\ (S(n))^2 \equiv 1 \pmod 3,\\ &n \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \pmod 3,\ (S(n))^2 \equiv 1 \pmod 3. \end{aligned}$$

Во всех случаях сумма $$n^2+(S(n))^2$$ даёт остаток $$0$$ или $$2$$ при делении на $$3$$, а число $$1000$$ делится на $$3$$ с остатком $$1$$:

$$1000 \equiv 1 \pmod 3.$$

Получаем противоречие. Следовательно, решений нет.