Упр.29.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.21. Может ли натуральное число, в записи которого есть только цифры 0 и 6, быть квадратом натурального числа?

Подробный ответ

Пусть дано натуральное число, в записи которого встречаются только цифры 0 и 6, и оно является квадратом натурального числа.

Любой квадрат натурального числа по модулю $4$ может давать только остатки $0$ или $1$. Так как число оканчивается цифрой $0$ или $6$, оно чётное, значит, его квадрат должен оканчиваться на чётную цифру.

Рассмотрим возможные окончания такого числа:

$$6 \not\equiv 0 \pmod 4,$$
$$66 \not\equiv 0 \pmod 4,$$
$$60 \equiv 0 \pmod 4,$$ но число не делится на $100$.

Значит, если такое число было бы квадратом, то оно должно оканчиваться на чётное число нулей. Уберём эти нули. Тогда оставшаяся часть числа тоже должна быть квадратом натурального числа.

Но после удаления нулей снова остаётся число, составленное только из цифр $0$ и $6$, и тот же рассуждение повторяется. Получаем противоречие.

Следовательно, натуральное число, в записи которого есть только цифры $0$ и $6$, не может быть квадратом натурального числа.