Упр.29.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.29. Числа 1000, 1001, …, 1010 записали друг за другом в некотором порядке. Докажите, что у полученного 44-значного числа есть по крайней мере четыре различных натуральных делителя.

Подробный ответ

Обозначим полученное 44-значное число через $$N$$.

Сумма цифр чисел $$1000,1001,\dots,1010$$ равна

$$1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+0+\dots+1+0=57.$$

Значит, сумма цифр числа $$N$$ равна $$57$$, а так как $$57$$ делится на $$3$$, то и число $$N$$ делится на $$3$$.

Теперь рассмотрим делимость на $$11$$. Разобьём число на цифры по позициям: в каждом из чисел $$1000,1001,\dots,1010$$ первая цифра равна $$1$$, а остальные цифры дают в сумме

$$0+0+\dots+0+0+1+2+\dots+9+0=45.$$

Для чисел, записанных подряд, разность суммы цифр, стоящих на нечётных и чётных местах, равна

$$45-12=33,$$

а число $$33$$ делится на $$11$$. Следовательно, $$N$$ делится на $$11$$.

Кроме того, последнее число в записи — $$1010$$, значит, число $$N$$ оканчивается на $$0$$, поэтому оно делится на $$2$$ и на $$5$$.

Итак, число $$N$$ делится на $$2$$, $$3$$, $$5$$ и $$11$$. Эти делители различны, значит, у числа $$N$$ есть по крайней мере четыре различных натуральных делителя.