Упр.29.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.2. Докажите, что ?(a_n a_(n-1)…a_1 a_0 )??(a_1 a_0 ) (mod 4).

Рассмотрим число $$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}$$ и запишем его в виде суммы:

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\dots+a_1\cdot 10+a_0.$$

Так как

$$10\equiv 2 \pmod 4,\qquad 10^2\equiv 0 \pmod 4,$$

то для всех степеней начиная с второй имеем

$$10^2\equiv 10^3\equiv \dots \equiv 10^n\equiv 0 \pmod 4.$$

Следовательно,

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}\equiv 10a_1+a_0 \pmod 4.$$

С другой стороны,

$$\overline{a_1 a_0}=10a_1+a_0,$$

значит,

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}\equiv \overline{a_1 a_0}\pmod 4.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0}\equiv \overline{a_1 a_0}\pmod 4.$$