Упр.289 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

а^-3 — b^-3 = (а^-1 — b^-1)(а^-1 + b^-1)(а^-2 + b-^2)(а^-4 + b^-4). Упростите выражение:
1) (а^-4 + 3)(а^-4 — 3) — (а^-4 + 2)2;
2) (m^-2 — n^-2) / (m^-1 + n^-1);

Используем свойства степеней с отрицательным показателем: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$

1)

$$ (a^{-4}+3)(a^{-4}-3)-(a^{-4}+2)^2 $$
$$ = a^{-8}-9-\left(a^{-8}+4a^{-4}+4\right) $$
$$ = a^{-8}-9-a^{-8}-4a^{-4}-4 $$
$$ = -4a^{-4}-13. $$

2)

$$ \frac{m^{-2}-n^{-2}}{m^{-1}+n^{-1}} = \frac{(m^{-1}-n^{-1})(m^{-1}+n^{-1})}{m^{-1}+n^{-1}} = m^{-1}-n^{-1}. $$

Можно записать и так:

$$ m^{-1}-n^{-1}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}. $$

Ответ

1) $$-4a^{-4}-13$$;
2) $$m^{-1}-n^{-1}$$, или $$\frac{n-m}{mn}$$.