Упр.289 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$a^{-3}-b^{-3}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4})$$.
2. Упростите выражение:
   
   1) $$(a^{-4}+3)(a^{-4}-3)-(a^{-4}+2)^2$$;
   
   2) $$\frac{m^{-2}-n^{-2}}{m^{-1}+n^{-1}}$$.

Используем свойства степеней с отрицательным показателем: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$

1)

$$(a^{-4}+3)(a^{-4}-3)-(a^{-4}+2)^2$$
$$= a^{-8}-9-\left(a^{-8}+4a^{-4}+4\right)$$
$$= a^{-8}-9-a^{-8}-4a^{-4}-4$$
$$= -4a^{-4}-13.$$

2)

$$\frac{m^{-2}-n^{-2}}{m^{-1}+n^{-1}} = \frac{(m^{-1}-n^{-1})(m^{-1}+n^{-1})}{m^{-1}+n^{-1}} = m^{-1}-n^{-1}.$$

Можно записать и так:

$$m^{-1}-n^{-1}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}.$$

Ответ

1) $$-4a^{-4}-13$$;
2) $$m^{-1}-n^{-1}$$, или $$\frac{n-m}{mn}$$.