Упр.288 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Представьте в виде произведения выражение:
   1) $$x^{-4}-25$$;
   2) $$m^{-6}-8n^{-3}$$;
   3) $$a^{-10}+8a^{-5}b^{-7}+16b^{-14}$$;
   4) $$a^{-4}-a^{-2}$$.
2. Задание учебника 2019 года. Докажите тождество $$a^{-3}-b^{-3}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4})$$.

1) $$x^{-4}-25=(x^{-2})^2-5^2=(x^{-2}-5)(x^{-2}+5).$$

2) $$m^{-6}-8n^{-3}=(m^{-2})^3-(2n^{-1})^3=(m^{-2}-2n^{-1})(m^{-4}+2m^{-2}n^{-1}+4n^{-2}).$$

3) $$a^{-10}+8a^{-5}b^{-7}+16b^{-14}=(a^{-5}+4b^{-7})^2=(a^{-5}+4b^{-7})(a^{-5}+4b^{-7}).$$

4) $$a^{-4}-a^{-2}=a^{-2}(a^{-2}-1)=(a^{-2}-a^{-1})(a^{-2}+a^{-1}).$$

Докажем тождество:

$$(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4})$$

$$=(a^{-2}-b^{-2})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4})$$

$$=(a^{-4}-b^{-4})(a^{-4}+b^{-4})$$

$$=a^{-8}-b^{-8}.$$

Ответ

1) $$\left(x^{-2}-5\right)\left(x^{-2}+5\right);$$

2) $$\left(m^{-2}-2n^{-1}\right)\left(m^{-4}+2m^{-2}n^{-1}+4n^{-2}\right);$$

3) $$\left(a^{-5}+4b^{-7}\right)^2;$$

4) $$\left(a^{-2}-a^{-1}\right)\left(a^{-2}+a^{-1}\right);$$

$$a^{-3}-b^{-3}=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})(a^{-2}+b^{-2})(a^{-4}+b^{-4}).$$