Упр.28.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (4n+3)/(20n+23); 2) (12n+1)/(30n+2).

1. Рассмотрим дробь $$\frac{4n+3}{20n+23}.$$ Найдём наибольший общий делитель числителя и знаменателя:

   $$\gcd(4n+3,\;20n+23)=\gcd(4n+3,\;20n+23-4(4n+3))$$
   $$=\gcd(4n+3,\;4n+11)$$
   $$=\gcd(4n+3,\;4n+11-(4n+3))$$
   $$=\gcd(4n+3,\;8).$$

   Число $$4n+3$$ всегда нечётное, значит, оно не делится на $$2$$, а следовательно, не делится и на $$8$$. Поэтому

   $$\gcd(4n+3,\;20n+23)=1.$$

   Значит, дробь $$\frac{4n+3}{20n+23}$$ несократима.

2. Рассмотрим дробь $$\frac{12n+1}{30n+2}.$$ Найдём НОД числителя и знаменателя:

   $$\gcd(12n+1,\;30n+2)=\gcd(12n+1,\;30n+2-2(12n+1))$$
   $$=\gcd(12n+1,\;6n)$$
   $$=\gcd(12n+1-2\cdot 6n,\;6n)$$
   $$=\gcd(1,\;6n)=1.$$

   Следовательно, числа $$12n+1$$ и $$30n+2$$ взаимно просты, значит, дробь $$\frac{12n+1}{30n+2}$$ несократима.

Ответ

1) $$\frac{4n+3}{20n+23}$$ — несократимая дробь; 2) $$\frac{12n+1}{30n+2}$$ — несократимая дробь.