Упр.28.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) НОД (n; 2n+1)=1; 2) НОД (8n+4; 4n)=4.

1) Рассмотрим НОД чисел $$n$$ и $$2n+1$$:

$$ \gcd(n,2n+1)=\gcd(n,2n+1-n)=\gcd(n,n+1) $$
$$ \gcd(n,n+1)=\gcd(n+1-(n),n)=\gcd(1,n)=1 $$
Значит, для любого $$n\in \mathbb{N}$$ имеем $$\gcd(n,2n+1)=1$$.

2) Рассмотрим НОД чисел $$8n+4$$ и $$4n$$:

$$ \gcd(8n+4,4n)=\gcd((8n+4)-2\cdot 4n,4n)=\gcd(4,4n) $$
Так как число $$4$$ делит $$4n$$, то
$$ \gcd(4,4n)=4. $$
Следовательно, для любого $$n\in \mathbb{N}$$ имеем $$\gcd(8n+4,4n)=4$$.

Ответ

$$ 1)\ \gcd(n,2n+1)=1;\qquad 2)\ \gcd(8n+4,4n)=4. $$