Упр.28.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любого $$n\in\mathbb{N}$$: 1) $$\operatorname{НОД}(n; 2n+1)=1$$; 2) $$\operatorname{НОД}(8n+4; 4n)=4$$.

1) Рассмотрим НОД чисел $$n$$ и $$2n+1$$:

$$\gcd(n,2n+1)=\gcd(n,2n+1-n)=\gcd(n,n+1)$$
$$\gcd(n,n+1)=\gcd(n+1-(n),n)=\gcd(1,n)=1$$
Значит, для любого $$n\in \mathbb{N}$$ имеем $$\gcd(n,2n+1)=1$$.

2) Рассмотрим НОД чисел $$8n+4$$ и $$4n$$:

$$\gcd(8n+4,4n)=\gcd((8n+4)-2\cdot 4n,4n)=\gcd(4,4n)$$
Так как число $$4$$ делит $$4n$$, то
$$\gcd(4,4n)=4.$$
Следовательно, для любого $$n\in \mathbb{N}$$ имеем $$\gcd(8n+4,4n)=4$$.

Ответ

$$1)\ \gcd(n,2n+1)=1;\qquad 2)\ \gcd(8n+4,4n)=4.$$